คณิตศาสตร์

พหุนามและเศษส่วนของพหุนาม

จุดประสงค์การเรียนรู้
1. ทบทวนความรู้เรื่องพหุนามจากที่ได้เคยเรียนมา
2. รู้จักและแก้ปัญหาเกี่ยวกับการคูณพหุนามได้
3. รู้จักและแก้ปัญหาเกี่ยวกับการหารพหุนามได้
4. รู้จักและอธิบายเกี่ยวกับเศษส่วนของพหุนามได้
5. สามารถบวก ลบ คูณ หารเศษส่วนของพหุนามได้

การคูณพหุนาม

พิจารณาการคูณพหุนามกับพหุนามซึ่งทำได้โดยใช้สมบัติการแจกแจงดังต่อไปนี้
ตัวอย่างที่ 1
(x + 2)(x + 5) = [(x + 2)(x)] + [(x + 2)(5)]
(x + 2)(x + 5) = (x)(x) + (2)(x) + (x)(5) + (2)(5)
(x + 2)(x + 5) = x2 + 2x + 5x + 10
(x + 2)(x + 5) = x2 + 7x + 10

ตัวอย่างที่ 1
(x + 2)(x + 5) = [(x)(x + 5)] + [(2)(x + 5)]
(x + 2)(x + 5) = (x)(x) + (x)(5) + (2)(x) + (2)(5)
(x + 2)(x + 5) = x2 + 5x + 2x + 10
(x + 2)(x + 5) = x2 + 7x + 10

การหาผลคูณของพหุนามสรุปได้ดังนี้
การหาผลคูณของพหุนามกับพหุนาม ทำได้โดยคูณแต่ละพจน์ของพหุนามหนึ่งกับทุกๆพจน์ของอีกพหุนามหนึ่ง แล้วนำผลคูณเหล่านั้นมาบวกกัน

ตัวอย่าง จงหาผลคูณ (x + 4)(3x2 - x)
วิธีทำ
(x + 4)(3x2 - x) = (x)(3x2) + (x)(-x) + (4)(3x2) + (4)(-x)
(x + 4)(3x2 - x) = 3x3 - x2 + 12x2 - 4x
(x + 4)(3x2 - x) = 3x3 + 11x2 - 4x

ทบทวนพหุนาม
การบวกและการลบพหุนาม
การหาผลบวกและผลลบของพหุนาม มีหลักเกณฑ์ดังนี้
1. การหาผลบวกของพหุนาม ทำได้โดยนำพหุนามมาเขียนในรูปการบวกและถ้ามีพจน์ที่คล้ายกัน ให้บวกพจน์ที่คล้ายกันเข้าด้วยกัน
2. การหาผลลบของพหุนาม ทำได้โดยบวกพหุนามตัวตั้งด้วยพจน์ตรงข้ามของแต่ละพจน์ของพหุนามตัวลบ

ตัวอย่าง จงหาผลบวกและผลลบของ 3x2 - 4x + 2 และ 7x – 3 โดยใช้พหุนามแรกเป็นตัวตั้ง
วิธีทำ
หาผลบวก
(3x2 - 4x + 2) + (7x – 3) = 3x2 - 4x + 2 + 7x – 3
(3x2 - 4x + 2) + (7x – 3) = 3x2 + 3x - 1
หาผลลบ
(3x2 - 4x + 2) - (7x – 3) = 3x2 - 4x + 2 + (-7x) + 3
(3x2 - 4x + 2) - (7x – 3) = 3x2 - 11x + 5

การคูณเอกนามกับพหุนาม
การหาผลคูณของเอกนามกับพหุนาม มีหลักเกณฑ์ดังนี้
การหาผลคูณระหว่างเอกนามกับพหุนามทำได้โดยนำเอกนามไปคูณแต่ละพจน์ของพหุนาม แล้วนำผลคูณเหล่านั้นมาบวกกัน

ตัวอย่าง จงหาผลคูณของ 2x กับ (-5x)2 + 6x - 4
วิธีทำ
(2x)((-5x)2 + 6x - 4) = (2x)[((-5x)2) + 6x + (-4)]
(2x)((-5x)2 + 6x - 4) = (2x)(-5x)2 + (2x)(6x) + (2x)(-4)
(2x)((-5x)2 + 6x - 4) = (-10x)3 + (12x)2 - 8x

การหารพหุนามด้วยเอกนาม
การหารพหุนามด้วยเอกนาม มีหลักเกณฑ์ดังนี้
การหาผลหารของพหุนามด้วยเอกนามที่ไม่เป็นศูนย์ ทำได้โดยหารแต่ละพจน์ของพหุนามด้วยเอกนาม แล้วนำผลหารเหล่านั้นมาบวกกัน ถ้าการหารพหุนามด้วยเอกนามได้ผลหารเป็นพหุนาม แล้วจะกล่าวว่าการหารนั้นเป็นการหารลงตัว

ความสัมพันธ์ของตัวหาร ผลหาร และตัวตั้งในกรณีที่เป็นการหารลงตัว เป็นดังนี้
ตัวหาร × ผลหาร = ตัวตั้ง

ตัวอย่าง จงหาร (18x)3 - (27x)2 + 3x ด้วย 3x
วิธีทำ
(18x)3 - (27x)2 + 3x / 3x = [(18x)3 + ((-27x)2) + 3x] / 3x
(18x)3 - (27x)2 + 3x / 3x = ((18x)3 / 3x) + [((-27x)2) / 3x] + (3x / 3x)
(18x)3 - (27x)2 + 3x / 3x = (6x)2 + (-9x) + 1